Las matemáticas de Los Simpson

Reto: comentar una serie desde mi punto de vista.
Mi profesión: matemático.

El poder de la palabra es indudable: con las dos líneas anteriores he conseguido que la mitad de mis potenciales lectores desistan y que algunos, pocos, se pregunten con curiosidad que qué serie televisiva puede comentar un matemático desde su punto de vista. A aquellos que apuesten por opciones evidentes para las matemáticas como Numbers o incluso The Big Bang Theory, me gustaría comentarles que erraron en sus predicciones. Voy a hablar de otra serie; o mejor, de un capítulo de esa serie; incluso de algunas escenas de dicho capítulo, pero no quiero adelantarme. Quisiera antes de nada presentar a uno de los protagonistas de este relato.

Dicha protagonista no es otra que la abuela Clara. Mi mujer se llama Clara por su abuela. La abuela Clara era alguien, supongo que como todos, con muchas facetas. Podía ser la más graciosa —como mi mujer— y, casi simultáneamente, la persona con más malas pulgas del mundo —como… pienso que este es el momento adecuado para abandonar los paralelismos—. Una vez, esperando una llamada para acudir a una comida familiar, fui a casa de la abuela Clara para gritarle —era bastante sorda— que se arreglara, que nos iban a llamar para avisarnos dónde sería la comida. En arreglarse ella tardó menos de un suspiro; le encantaba salir de paseo. Así que nos sentamos los dos a esperar esa llamada telefónica mientras el televisor, permanentemente encendido, emitía un episodio de Los Simpson —ya tenemos aquí la serie en cuestión—. He de confesar que nunca he sido un habitual de esos personajes amarillos. Cada vez que veo un episodio me gusta, me parece inteligente, con buenos diálogos, pero nunca la he seguido con asiduidad. Aun así, el poder hipnótico que siempre ejerce una pantalla encendida hizo que comenzara a prestar atención a la emisión. Era un episodio antiguo, sobre Halloween. Todo se desarrollaba con los parámetros usuales de la serie hasta que, de pronto, Homer Simpson —el desastroso padre de la peculiar familia— desapareció de su mundo y apareció en un mundo tridimensional. Efectivamente, obsérvese que el estilo de Los Simpson es un dibujo plano, bidimensional, como la estética de la mayoría de las series de dibujos animados que emiten por televisión. Una de las primeras películas de animación en la que se recurrió al dibujo tridimensional fue Tron, de 1982 —en realidad, en ella se mezclaban actores reales junto a animaciones—, que además, fue una de las primeras películas en usar ordenadores para generar animaciones. Ese cambio del mundo bidimensional al tridimensional fue lo primero que como matemático me llamó la atención.

No es que los matemáticos seamos seres extraños. En contra de una opinión muy generalizada, los matemáticos solemos ver la televisión, leemos novelas, o historia, o filosofía; incluso hay rumores que apuntan a que algunos leen poesía y practicamos todo tipo de actividades cotidianas y algunas no tan cotidianas, pero sobre este último punto mejor no incidir.

Lo que sí es cierto es que de forma inevitable, como le ocurre a todos, nuestra visión del mundo puede llegar a estar condicionada por nuestra formación de matemáticos, así que voy a tratar de mostrar cómo un matemático vio aquel capítulo. O mejor dicho, la parte final de aquel capítulo.

Ya he dicho que lo primero que me llamó la atención fue la transformación tridimensional y el evidentísimo homenaje a Tron: esa cuadrícula que, además, es un guiño a las coordenadas cartesianas; guiño que queda aún más evidente en una imagen posterior, en la que se ve una señalización que marca los tres ejes coordenados X, Y y Z —curiosamente, con la Y marcando la dirección vertical en vez de la Z como suele ser habitual—. Pero si uno desea ver las referencias matemáticas de dicho capítulo —y de muchos otros—, basta con que realice las pertinentes búsquedas en internet. Así que vuelvo a mi historia, porque aunque el cambio a las tres dimensiones fue lo que me enganchó, hubo una imagen que me hizo saltar de mi asiento. Mientras Homer pasea, en el fondo se ven dos igualdades. Cualquiera de las dos me hubiera sacudido, así que me es imposible describir qué sentí al ver aparecer ambas igualdades en la pantalla: se mostraba la solución a dos de los mayores problemas matemáticos de la historia. De hecho, yo sabía que una de las igualdades es falsa y soy capaz de apostar bastante a que la otra también lo es —sigue siendo un problema sin resolver—. Bueno, más de uno se estará preguntando «¿cuáles son esas dos igualdades que aparecían en dicho episodio?» Pues nada más y nada menos que:

1782¹²+1841¹²=1922¹²

y

P=NP

Como digo, no sé si la lectora o lector se siente impresionado al ver ambas igualdades, pero yo sí que sentí que acababa de presenciar algo muy, muy grande. Porque es una broma —dos bromas— muy elaborada y que muy poca gente podía llegar a comprender. Así que allí estaba yo, de pie, en mitad de aquel salón, con una señora con la que no podía, por muchas razones, compartir mi emoción. Recordemos que eran tiempos anteriores a la existencia de las redes sociales, y por tanto no me quedaba el recurso de sacar una foto a la pantalla y colgarla en Instagram, o de tuitearlo urbi et orbi. Solo cabía tratar de sosegarme y ver si seguían apareciendo guiños matemáticos en el capítulo

La respuesta es que sí, pero voy a obviarlos. Aunque recomiendo que se busquen en internet dichas referencias, algunas nada obvias, aunque hay otra muy evidente y es la presencia también de la fórmula de Euler eπi=−1, que aparece de esa forma y no como eπi+1=0, que me parece más elegante porque de esta forma figuran los cinco números más significativos de las matemáticas unidos por todas las operaciones aritméticas importantes.

En cualquier caso, la abuela Clara algo notó, porque con su habitual diplomacia —estoy seguro de que no tuvo la oportunidad de asistir a ningún internado suizo en su juventud— exclamó: «¿Qué coño te pasa, niño?». He de reconocer que sus palabras actuaron como un cierto bálsamo tranquilizador que me devolvieron a la realidad. Evidentemente, renuncié a tratar de explicarle qué es lo que me ocurría, pero no voy a renunciar en este espacio que me brinda Jot Down.

La primera de las igualdades hace referencia al último teorema de Fermat, una de las historias más apasionantes de las matemáticas. Hace casi cuatrocientos años, concretamente en 1637, un abogado francés apasionado por las matemáticas, Pierre de Fermat, escribió en el margen de un libro sobre aritmética que era imposible que la ecuación xⁿ+yⁿ=zⁿ tuviera soluciones naturales cuando n es un número entero mayor o igual que 3 (3, 4, 5…); esto es: si escribimos por ejemplo x¹²+y¹²=z¹², será imposible encontrar tres número enteros x, y, z tales que verifiquen la ecuación. Pero Homer estaba viendo una solución a dicha ecuación. Efectivamente, si cogemos una calculadora y realizamos las cuentas obtenemos:

1782¹²+1841¹²=2,541210259×10³⁹

y

1922¹²=2,541210259×10³⁹

Por lo tanto, ¿estaba Fermat equivocado? De hecho, el abogado francés nunca publicó la demostración de su resultado, y se limitó a escribir en su nota al margen del libro al que nos referimos antes: «He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla». Esa pequeña nota al margen de un libro o la búsqueda de esa demostración omitida ha llevado a algunos de los mayores matemáticos de la historia —y a muchos aficionados— a intentar conseguir esa demostración. Para conseguirla, fueron necesarios trescientos cincuenta años y el desarrollo de algunas herramientas matemáticas impensables en la época de Fermat, hasta que el matemático británico Andrew Wiles, en 1995 —justo el primer año de emisión de este capítulo en la televisión americana—, dio la demostración completa de que la afirmación de Fermat era correcta. Por lo tanto, Fermat tenía razón, aunque muy posiblemente su demostración estaba equivocada, como la de tantos matemáticos aficionados que han creído que la tenían.

Y como Fermat tenía razón, no se pueden encontrar tres números enteros x, y, z tales que x¹²+y¹²=z¹². Entonces, ¿qué ocurre con 178212+184112=192212? Sencillamente, que es falso.

Obsérvese que la primera parte de la «igualdad» es un número impar —todo número par elevado a cualquier cosa es par y todo impar elevado a cualquier cosa es impar y la suma de par más impar es impar— y la segunda parte de la «igualdad» es par. Pero lo hemos comprobado con una calculadora y nos sale igual. Bien, eso nos enseñará a no fiarnos siempre de las calculadoras. Efectivamente, todas las calculadoras son capaces de realizar operaciones con una cierta precisión, y eso significa que los resultados que dan no son exactos al cien por cien. Y lo que ocurre es que 178212+184112 y 192212 son muy parecidos, pero no iguales.

El primero vale 2541210258614589176288669958142428526657.

El segundo, 2541210259314801410819278649643651567616.

Como vemos, las primeras cifras son iguales, y eso hace que se engañe a la calculadora. Existen varios trabajos que tratan de buscar números para los que la ecuación de Fermat sea casi verdad —que difieran en poco los dos términos de la igualdad—. Uno de los primeros que se dedicó a dicha búsqueda fue David Cohen, que fue uno de los guionistas de Los Simpson —y Futurama más tarde—. Se pueden encontrar muchos de esos número aquí.

Pero dejemos a Fermat y veamos qué ocurre con la segunda igualdad. Recuerdo que ponía P=NP. ¿Cuál es su significado? Evidentemente, no son iguales. En la segunda parte aparece una “N” que no está en la primera, pero en realidad, hace referencia a uno de los problemas más importantes que existen hoy en día en la teoría de la computación. Es tan importante, que el Clay Mathematics Institute de Canadá ofrece un premio de un millón de dólares a quien pruebe si dicha igualdad es cierta o no.

Primero voy a tratar de ponerlo en contexto. Trata sobre qué cosas podemos hacer de forma efectiva con un ordenador y qué cosas no. A más de uno le parecerá absurdo lo que acabo de comentar —y puede que lo sea—, pero la idea es la siguiente: supongamos que tenemos una lista con cien ciudades y el mapa de carreteras que las unen con sus correspondientes distancias, y nos enfrentamos con dos problemas distintos.

Problema 1. Si nos dan una ruta concreta, esto es, visitamos primero la ciudad A, de allí vamos a la B, etc., ¿hemos visitado las cien ciudades? ¿La distancia recorrida es menor que 1000 km?

Problema 2. ¿Es posible encontrar una ruta que visite todas las ciudades y que tenga una longitud menor que 1000 km?

Es fácil ver que, si el primer problema es más simple que el segundo, un ordenador tardaría menos tiempo en resolver el primer problema que el segundo, porque el primer problema es una simple comprobación que cualquier ordenador tardaría menos de un segundo —mucho menos— en realizar y el segundo parece que tendríamos que comprobar todas las posibles rutas para ver si alguna de ellas es menor de 1000 km. Uno puede pensar que generar todas las posibles rutas entre cien ciudades debe ser una tarea muy sencilla para cualquier ordenador de hoy en día, pero hay un problema fundamental aquí: todas las posibles rutas entre cien ciudades es un número ingente que ningún ordenador —ni la suma de todos los ordenadores existentes en la Tierra— puede generar, ya que si todas las ciudades están conectadas entre sí, el número de rutas distintas es lo que los matemáticos escriben como 100! y ese es un número grande. Claro que alguien dirá: «Para eso están los ordenadores, para lidiar con números grandes». Pero es que 100! es tan grande que no se puede «lidiar» con él.

Para hacernos una idea de lo grande que es, realicemos el siguiente ejercicio mental. Imaginemos todos los átomos del universo. Son muchos, ¿verdad? Pues aún no estamos cerca de 100! Ahora pensemos en la suma de todos los electrones, protones y neutrones; un número mayor que el de átomos, evidentemente. Pues aún no nos acercamos a 100!. Para aproximarnos a 100!, lo que tendríamos que hacer es sustituir cada electrón, cada protón y cada neutrón por un universo entero, y en ese universo de universos que acabamos de construir, contar el número de electrones, protones y neutrones que tenemos. Eso, electrón arriba, electrón abajo, es 100! Así, para generar todas las posibles rutas entre cien ciudades, si pusiéramos a todos los ordenadores de la Tierra a trabajar en ello, tardaríamos tanto tiempo que el fin del universo llegaría antes —mucho antes— de completar dicha lista.

Por lo tanto, creo que ha quedado claro que el Problema 1 es más simple que el Problema 2. Entonces, ¿qué quiere decir P=NP? Pues lo que quiere decir es que existe un procedimiento para resolver el segundo problema sin necesidad de generar todas las rutas posibles y que podemos llevar a cabo dicha tarea en un tiempo razonable. La cuestión es que nadie sabe, hasta la fecha, si eso es verdad, aunque Homer lo viera, y que si alguien es capaz de encontrar dicho procedimiento, yo estaría dispuesto a pagarle medio millón de dólares por él y sería la mejor inversión de mi vida, ya que como he dicho antes, llevaría dicha solución al Clay Institute y ellos me embolsarían un millón de dólares.

Esto, todo lo que acabo de explicar, fue lo que me hizo levantarme de mi asiento aquella tarde de primavera mientras esperaba una llamada de teléfono en compañía de la abuela Clara.