Génesis de la relatividad general para principiantes (1)

En el transcurso de estos primeros diez años de vida de Jot Down se celebró el centenario de la presentación de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein. Incluso lo conmemoramos con un pack de trimestrales que llevaban impreso en el lomo su ecuación de campo (Gab = 8 Π G Tab), una fórmula que parece tan inocente y sencilla que da la sensación de que la ecuación de gravitación de Isaac Newton (F = G m1 m2 / d2) es más compleja. Nada más lejos de la realidad. Llegar a ella fue una tarea titánica de una de las mentes más prodigiosas de la historia de la ciencia. Newton, quitándose importancia, dijo en su momento: «Si he visto más lejos, ha sido encaramándome a los hombros de gigantes». Siguiendo con la metáfora, cuando Einstein decidió enfrentarse a la generalización de su teoría de la relatividad especial, solo había un circo de tres pistas con gigantes y enanos dispersos, y él se tuvo que encargar de agruparlos, organizarlos para que formaran un castell, montar un andamio sobre ellos y encaramarse hasta la cima para enarbolar una banderita con la ecuación de campo anteriormente grafiada. Solo así consiguió «ver más lejos».

Matemáticas al poder

Gracias a las películas de ciencia ficción, forma parte de la cultura popular que la relatividad general consiste, a grandes rasgos, en que el espacio-tiempo se deforma por la presencia de los astros. Una forma simplificada de visualizar este fenómeno es con el consabido juego de pelotas de distintos tamaños y pesos sobre una red o tela tensa. Quien haya dormido en una cama vieja junto a alguien mucho más pesado incluso lo habrá experimentado en primera persona. Pero describirlo matemáticamente es otra historia, porque la geometría convencional no sirve.

Durante siglos, la representación de la realidad a la que estaba acostumbrado el ser humano en su día a día fue la que estableció Euclides quien, a partir de cinco axiomas, construyó su geometría: la conocida como plana o euclídea. Los axiomas son unas proposiciones de partida que se asumen como ciertas, y durante unos mil quinientos años no hay constancia de que nadie chistara a Euclides. Hasta que, en el siglo XIX, el quinto axioma («por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela a la recta dada») fue rebatido por un puñado de matemáticos sensacionales que consiguieron plantear otras geometrías consistentes y que no daban lugar a contradicciones partiendo de una premisa diferente.

En torno a 1823, János Bolyai remató una geometría en donde el quinto axioma de Euclides era falso porque, en la suya, por un punto exterior a una recta hay más de una recta paralela a la primera. Esta geometría se denomina hiperbólica y su «plano», donde se contienen las rectas y puntos, es una seudoesfera que tiene una forma similar a dos campanas de trompa pegadas una a la otra. Y no era el único resultado sorprendente que arrojaba el análisis, ya que la suma de los ángulos interiores de un triángulo resulta menor de 180 grados.

Maravillado por su creación, János se lo comunicó a su padre, el también matemático Farkas, quien a su vez compartió orgulloso los descubrimientos de su hijo con su antiguo profesor de la Universidad de Gotinga, a quien aún lo unía cierta amistad. Este antiguo profesor era nada más y nada menos que Carl Friedrich Gauss, uno de los mejores matemáticos de todos los tiempos. Contra todo pronóstico, aunque Gauss reconoció el talento de János, transmitió algo más de tibieza ante la geometría hiperbólica porque, según manifestó, él la había concebido antes, pero se lo había guardado para evitar jaleos con los seguidores de Euclides radicalizados. Estas palabras en boca de cualquier otro matemático podrían sonar a machada, pero dado el talento y el bagaje de Gauss, los Bolyai asumieron que decía la verdad. Esto le sentó a János como un jarro de agua fría, suponemos que volcó algunos muebles por la impotencia, abandonó las matemáticas, ingresó en el ejército y estuvo años sin publicar lo que había descubierto. Cuando al fin se decidió a darlo a conocer, en 1932, como un apéndice dentro de un libro de su padre, ya era tarde: un matemático ruso llamado Nikolái Lobachevski se le había adelantado. Aunque oficialmente fuera Lobachevski el primero en difundir la geometría hiperbólica, casi siempre va unida su autoría a la de Bolyai y, en menor medida, a Gauss. Premio de consolación para el pobre János.

A otro alumno de Gauss (el mundo era un pañuelo en el siglo XIX), Bernhard Riemann, también le dio por las geometrías no euclídeas (entre otras muchas cosas, como veremos más adelante, porque estamos ante otro fenómeno de las matemáticas). En su caso, el quinto axioma de Euclides se transformó en «por un punto exterior a una recta no pasa ninguna recta paralela». Además, los ángulos interiores de un triángulo en esta geometría siempre suman más de 180 grados. Y, por si fuera poco, las rectas no son infinitas (a diferencia de la euclidiana y la hiperbólica). Todo esto se consigue al considerar un elipsoide (por eso se denomina elíptica) como el «plano» donde se encuentran los puntos y las «rectas».

Para visualizarlo, basta con coger un globo sin inflar y dibujar sobre él un triángulo convencional. Cuando hinchamos el globo y se estira la goma, vemos cómo se curvan los lados del triángulo y se abren los ángulos que forman. Y si consideramos una esfera (un caso particular de un elipsoide), las «rectas» (entendidas como el camino más corto entre dos puntos, denominadas técnicamente geodésicas), siempre son círculos máximos, por lo que es imposible trazar una paralela por un punto exterior sin que corte a la recta inicial y, evidentemente, siempre se cierran (basta con pensar en el ecuador de la Tierra). Este tipo de geometrías no euclídeas de primeras suenan a pura abstracción, aunque si visualizamos sus «planos» y sus «rectas» vamos comprendiendo las posibles aplicaciones ante el ejemplo de un gordo tumbado en la cama. En efecto, fueron unas herramientas indispensables para que Einstein diera forma a la relatividad general.

Además, sin alejarnos de Gauss y Riemann, hubo otros desarrollos matemáticos esenciales para que se pudiera llegar a la ecuación de campo que plasmamos en el primer párrafo. Si nos dicen que describamos un objeto, en general enumeraremos los aspectos singulares que apreciamos desde fuera. Por ejemplo, si se trata de un jarrón, diremos que en la parte superior tiene una abertura, que su forma es sensiblemente cilíndrica y que la base está cerrada. Pero si ante la misma pregunta alguien responde que si se mueve en una dirección determinada vuelve al punto de partida y si se desplaza en una dirección perpendicular a la anterior llega a una abertura o a la base, inmediatamente marcaremos el 112. Algo así fue lo que propuso Gauss.

En lugar de definir las superficies bidimensionales desde un punto de vista tridimensional o exterior, realizó el análisis desde la propia superficie, describiendo su relieve, los valles y las cimas, la curvatura, en definitiva, a medida que se recorre. Riemann cogió el testigo de su profesor en este punto y lo generalizó para cualquier número de dimensiones. En la conferencia de 1854 donde compartió estas ideas, Riemann concluyó de modo premonitorio: «Esto nos conduce a los dominios de otra ciencia, al ámbito de la física, donde nuestro propósito de hoy no nos permite adentrarnos».

Hubo que esperar más de cincuenta años para retomar el asunto, porque en 1915 Einstein pudo formular su teoría gracias a esta forma de analizar el espacio ideada por Gauss y generalizada por Riemann: describiendo la curvatura del espacio-tiempo desde su interior (además de otras ventajas matemáticas más complejas de describir y que se resumen excelentemente en la página de Wikipedia sobre la geometría de Riemann: «No hay introducción fácil a la geometría de Riemann»). No obstante, aun disponiendo de estos artificios matemáticos desde hacía décadas, nadie los había usado, ni pensado en que el espacio se deformaba, ni que había más dimensiones que las tres del espacio, ni que la luz hacía cosas raras… Einstein fue el primero al que se le ocurrió. ¿O no?

(Continúa aquí)