(Viene de la segunda parte)
Si el corazón tiene razones que la razón no comprende, como nos advierte Pascal, no es menos cierto que, recíprocamente, la razón tiene razones que el corazón no entiende o ni siquiera percibe. A veces la intuición se equivoca de medio a medio, e incluso se resiste a enmendar su error, y una «corazonada» puede llevarnos a un callejón sin salida. O a un pozo sin fondo.
No solo hay decisiones difíciles desde el punto de vista ético, como las que hemos visto con anterioridad; también hay situaciones en las que es fácil confundirse —o incluso perderse— al ponderar las distintas opciones. Confusiones o extravíos que no tienen que ver con los principios éticos y sus ambigüedades, sino con los propios mecanismos del intelecto. Dilemas, paradojas y falacias del raciocinio.
Un caso intermedio entre los dilemas morales y los meramente racionales es el conocido como «dilema del prisionero», pues no implica una decisión ética en sentido estricto, pero sí informada por los valores y el grado de honradez de quienes han de tomarla. Recordémoslo en su versión clásica:
La policía arresta a dos sospechosos. No hay pruebas suficientes contra ellos, así que un inspector los visita por separado y les ofrece a ambos el mismo trato: si uno confiesa y el otro no, el primero quedará libre y el segundo será condenado a diez años de cárcel; si los dos confiesan, ambos serán condenados a seis años; y si ninguno de los dos confiesa, solo podrán condenarlos a un año por un cargo menor.
No se trata de un dilema ético propiamente dicho; pero la búsqueda del bien común más allá del mero egoísmo puede beneficiar a ambos implicados. Desde el punto de vista de la teoría de juegos, es un juego de suma no nula (los juegos de suma cero son aquellos en los que lo que ganan unos es lo que pierden otros, como ocurre, por ejemplo, en una partida de póquer).
En el caso del dilema del prisionero, la decisión es dudosa porque intervienen factores subjetivos tales como la confianza y la lealtad entre los detenidos. Pero también hay elecciones decidibles en función de la más estricta lógica que, sin embargo, se prestan a confusión, como en el caso del famoso «problema de Monty Hall», denominado así por el presentador del concurso que lo hizo popular en los años setenta del siglo pasado. En resumen, consiste en lo siguiente:
Un concursante tiene que elegir una de entre tres puertas cerradas; detrás de una de ellas hay un automóvil y detrás de cada una de las otras dos hay sendas cabras. Una vez elegida una de las puertas, el presentador, que sabe dónde está el automóvil, abre una de las dos puertas restantes, tras la que hay una cabra, y le ofrece al concursante la posibilidad de cambiar la puerta que ha elegido por la otra puerta cerrada. ¿Qué le conviene hacer?
El razonamiento falso en el que incurre mucha gente consiste en pensar que, como ahora hay dos puertas cerradas, una con un automóvil tras ella y otra con una cabra, la probabilidad de conseguir el premio es la misma para ambas puertas, y por tanto es indiferente mantener la puerta escogida o cambiarla por la otra. Pero, en realidad, si el concursante cambia de puerta sus probabilidades de conseguir el automóvil se duplican: pasan de 1/3 a 2/3.
Una paradoja similar la encontramos en el «problema de los tres prisioneros», planteado por Martin Gardner en su sección de juegos matemáticos de Scientific American:
Tres prisioneros, a los que llamaremos Alberto, Bernardo y Carlos, saben que uno de ellos va a ser indultado, pero no saben cuál de los tres. Alberto soborna al carcelero para que le diga, de los otros dos, el nombre de uno que no vaya a ser indultado. El carcelero acepta el soborno y le dice: «Bernardo no va a ser indultado». Alberto se siente algo mejor, pues piensa que ahora su probabilidad de conseguir el indulto es del 50 %, ya que solo hay dos candidatos, Carlos y él. ¿Está justificada su alegría? ¿Alguien más debería alegrarse?
En contra de lo que sugiere la intuición, el alivio de Alberto no tiene fundamento. Ya sabía que al menos uno de los otros dos prisioneros no iba a ser indultado, y conocer su nombre no le aporta ninguna información relevante: su probabilidad de ser indultado sigue siendo 1/3. Quien sí tiene motivos para alegrarse es Carlos: la probabilidad de que el indultado fuera Bernardo o él era 2/3, y al quedar excluido Bernardo, esa pasa a ser su probabilidad. Distinto sería si el carcelero, sin que mediara la pregunta de Alberto, hubiera dicho: «Bernardo no va a ser indultado»; en ese caso sí, la probabilidad de cada uno de los otros dos habría sido 1/2.
El problema es análogo al de Monty Hall —con los prisioneros en lugar de las puertas y el indulto en lugar del automóvil— e igual de wonderfully confusing, como dijo en su día Martin Gardner.
Veamos otra instructiva variación sobre el mismo tema:
En una caja hay dos bolas blancas, en otra hay dos bolas negras, y en otra hay una bola blanca y una negra. Sacamos al azar una bola de una de las cajas y es blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra bola de la misma caja también sea blanca?
Una vez más, la respuesta parece ser 1/2: puesto que hay dos cajas de las que puede haber salido la bola blanca, es igualmente probable que la hayamos sacado de la que contiene dos blancas (BB) que de la que contiene una de cada color (BN). Pero al razonar de este modo no se tiene en cuenta que la bola blanca extraída puede ser la de la caja BN, una de las de la caja BB o la otra de la caja BB. Hay tres bolas blancas equiprobables y dos de ellas están en la caja BB, por lo que la probabilidad de que la otra bola también sea blanca no es 1/2 sino 2/3. Es más fácil verlo llevando la situación al extremo: si en una caja hubiera diez bolas blancas y en la otra una blanca y nueve negras, al sacar una bola blanca tendríamos claro que era mucho más probable que se tratara de la caja con diez bolas blancas.
Y, para rizar el rizo de las decisiones ilusorias, una paradójica apuesta que parece ser ventajosa para ambos apostantes:
Dos amigos se encuentran por la calle y uno le dice al otro: «Qué bonita corbata llevas», y el otro le contesta: «Pues la tuya también es muy bonita». Y tras intercambiar elogios sobre sus respectivos apéndices indumentarios, llegan al siguiente acuerdo: cada uno dirá lo que le ha costado su corbata, y el que tenga la más cara se la regalará al otro. La paradoja estriba en que los dos podrían pensar que la apuesta es ventajosa, pues si ganan obtienen algo que vale más que lo que pueden perder.
Una apuesta es un claro ejemplo de juego de suma cero, en el que uno gana lo que el otro pierde, y por consiguiente no puede ser ventajosa para ambos. Y sin embargo…
No es la primera vez que me encuentro con el «problema de Monty Hall», y sigue sin convencerme.
Supongamos que tras las puertas en vez de dos cabras hay una cabra y una oveja (y un coche, por supuesto).
Antes de abrir ninguna puerta, el concursante tiene 1/3 de posibilidades de acertar (si ha elegido la puerta con el coche), y 2/3 de fallar (es decir, 1/3 si ha elegido la puerta con la cabra y 1/3 para la pierta con la oveja).
Cuando el presentador abre una pierta y aparece una cabra, las posibilidades de haber elegido una cabra bajan al 0% (ya que el presentador ha «demostrado» que el concursante NO la ha elegido). El 33% de posibilidades que tenía la cabra se reparten entonces a partes iguales entre el coche y la oveja, que quedan al 50%. No parece que haya nnguna razón para que la oveja tenga más posibilidades que el coche o viceversa, salvo que admitamos que si el concursante prefiriera la oveja sean las posibilidades del coche las que aumenten (en todo caso, el articulo no habla para nada de parasicología).
Si repetimos el experimento sustituyendo la oveja por una cabra, el resultado debería ser el mismo, con las posibilidades al 50% (salvo, una vez más, que las cabras tengan habilidades parasicológicas más fuertes que las ovejas, lo que no se puede descartar).
Pasa lo mismo con el enigma de los tres prisioneros. Alberto debe alegrarse, porque sus posibilidades de salvación han subido al 50%. Carlos también debería alegrase (si se entera), por la misma razón. El que debería entristecerse (si se entera, mejor que Alberto no le diga nada) es Bernardo, cuyas posibilidades de indulto son nulas.
Otra cosa es que Carlos y Bernardo sigan creyendo que tienen una posibilodad de indulto del 33%, basando sus conclusiones en informaciones incompletas.
Es decir, que con la información que tiene Alberto las posibilidades de indulto serian A50% + B0% +C50% = 100%, mientras que Bernardo y Carlos creen que A33% + B33% + C33% = 100%. Por supuesto, el carcelero sabe más, y para él las posibilidades son X100% + Y0% + B0% = 100%. Si tuvieramos la información del carcelero también nosotros podríamos saber quién es X y quién es Y.
Cuando hablamos de posibilidades y tantos por cientos siempre se nos olvida insertar la frase «Con la informacion que en este momento tenemos las posibilidades de…». Y si hay dos personas o momentos con diferente información, no son comparables.
Piensa en 100 puertas en vez de 3, solo una con premio. Eliges una y el presentador abre 98 sin premio, dejando solo la que has elegido y otra. ¿No cambiarías?
Estimado maestro, diacrónicamente has aumentado las posibilidades, sincrónicamente tienes un 50%. Lo que creo que no es acertado es pensar que existe un error en el razonamiento por pensar sincrónicamente.
No entiendo lo que quieres decir. La probabilidad de que algo ocurra es la que es. O conviene cambiar de puerta, o da igual.
En otras palabras lo que quiero decir es que con respecto a la primera probabilidad que planteas, cuando tienes tres opciones, si que doblas las posibilidades, pero con respecto a la probabilidad segunda, al momento cuando tienes dos opciones, tienes un 50%.
Creo que realmente no se trata de elegir entre intuición y lógica, sino entre dos perspectivas.
En última instancia, se trata de elegir entre dos puertas, y una de las perspectivas lleva a la elección correcta (la más favorable) y la otra no.
Exacto. La elección es entre dos puertas. La perspectiva que defiendes no aporta más posibilidades de acertar que un 50 %. Básicamente porque se refiere a una elección pasada, tres puertas, que en el momento presente no se da. No añade información relevante que dé ventaja en el nuevo escenario.
La información relevante es la puerta que abre el presentador. Hay una probabilidad 2/3 de que tras la puerta elegida no esté el coche; pero ahora sabes que tras una de las otras dos puertas -cuya probabilidad conjunta es 2/3- no está el premio.
Efdctivamene, aqui està la madre del cordero. La informacion relevante es la puerta que abre el presentador. HABIA una posibilidad de que tras la puerta elegida no estè el coche; pero ahora sabemos que tras una de las otras dos puertas -cuya probabilidad conjunta ERA de 2/3 (PERO, tras haber abierto el presentador una puerta vacìa, ES del 100%)- no està el premio. El problema està en mezclar la informacion existente antes de abrir la puerta con informacion despuès de abrir la puerta.
Que haya dos cabras, o una oveja y una cabra, no cambia nada. Cuando usas 2 cabras, como las haces equivalentes, reduces las combinaciones a 3. Cuando usas cabra y oveja, aumentas los casos a 6.
En el caso del planteamiento original, si llamamos a la puerta que elige el concursante puerta 1 y las puertas entre las que tiene que elegir el presentador, puerta 2 y puerta 3:
coche cabra cabra -> cambiar de puerta te hace empeorar a perder
cabra coche cabra -> cambiar de puerta te hace mejorar a ganar
cabra cabra coche -> cambiar de puerta te hace mejorar a ganar
Así pues, 2/3 de las veces mejorarás a ganar con el cambio y 1/3 de las veces empeorarás por el cambio, así que siempre tienes que cambiar.
Si hay una oveja y una cabra:
coche cabra oveja -> cambiar de puerta te hace empeorar a perder
coche oveja cabra -> cambiar te hace empeorar a perder
cabra coche oveja -> cambiar te hace mejorar a ganar
cabra oveja coche -> cambiar te hace mejorar a ganar
oveja cabra coche -> cambiar te hace mejorar a ganar
oveja coche cabra -> cambiar te hace mejorar a ganar
El cambio de puerta te hace ganar 4 veces de 6 y perder 2 veces de 6. Sigue siendo 1/3 vs 2/3 las probabilidades de perder vs ganar con el cambio de puerta.
Yo tampoco acabo de ver las deducciones a los problemas, será que no soy muy ducho en mates. Si elijo 1 de 3 puertas y el presentador abre otra y me da a elegir entre entre las dos que quedan tengo un 50% de posibilidades, 1 de 2 puertas, ya me quede con la que tengo u escoja la otra. Y aunque sean 100 y luego abran 98 me dejan igualmente con 2 y un 50%. Si cambio o no es por una cuestión de instinto, fe, intuición, superstición o qué sé yo. Pero no me van a convencer si me dicen que si cambio paso de tener 1/3 posibilidades a 2/3. Si me quedo con la misma también tengo 2/3. Lo siento, pero no sé ver más allá…
Hay un elemento muy importante a tener en cuenta, que es que el presentador conoce las puertas que no continenen nada, es decir, las que debe abrir. Este hecho hace que aunque al final queden dos puertas, la probabilidad de ambas sea diferente. Se puede hacer una analogía con los números de lotería. Imagina que puedes seleccionar cualquier número desde el 00000 hasta el 99999. Seleccionas, por ejemplo el 01234, y se realiza el sorteo, aunque el resultado del mismo no se hace público. Ahora imagina que yo sí conozco el resultado del sorteo, es decir, conozco el número premiado, que denominaré número X. Tenemos dos casos, o X es 01234 o X es diferente a 01234 (ambos casos no son equiprobables, pues que sea diferente a 01234 es mucho más probable). Ahora, dado que yo sé que tienes el número 01234, te presento un listado con todos los números desde el 00000 hasta el 99999 en el que tacho todos los números a excepción de 2. Uno de los que dejo sin tachar de manera deliberada siempre será el 01234 (pues sé que es el tuyo), y otro que dejo sin tachar será el que ha sido premiado (en el caso muy poco probable que haya salido premiado justamente el 01234, dejaría sin tachar cualquier otro número).
Si ahora que quedan dos números sin tachar te comentase que puedes cambiar el 01234 por el otro número sin tachar, ¿crees que sería buena opción cambiar de número? ¿o consideras que el hecho de mostrarte números tachados que no han salido premiados hace que tu número 01234 haya incrementado su probabilidad de ganar hasta el 50%?
Gracias, SF, me parece un muy buen símil. Aunque no convencerá a todo el mundo; en su día, esta paradoja suscitó un debate interminable, y yo mismo publiqué un artículo sobre ella, en la sección de ciencias de El País, que cosechó más de 3.000 comentarios.
Conozco «El juego de la ciencia» y resulta curioso ver que problemas de probabilidad que en apariencia son sencillos generan tantos comentarios.
Quizá, a la par de una buena argumentación o de símiles sencillos de entender, convendría explicar alguna propuesta de experimentación, pues si alguna persona no está de acuerdo con el resultado, puede probarlo por sí misma.
Tienes razón, algunos «logoescépticos» tienen que meter el dedo en la llaga para convencerse, como Santo Tomás. De hecho, alguna vez he propuesto hacer el experimento al estilo trilero: tres cubiletes y una moneda y un amigo haciendo las veces de presentador; de este modo el escéptico, haciendo de concursante, comprobará que cambiando de cubilete se lleva el premio 2 de cada 3 veces.
Pues tu explicación me ha convencido bastante amigo SF. Pero ahora lo veo como una cuestión de número. Si partía con 1/1000 probabilidades y me eliminan 998 sí que lo más lógico es que la otra sea el premio. Si hay 3 puertas el presentador, por mucho que sepa cuál es la del premio, está obligado a sugerirme dos igualmente, la mía y otra. Que sí, siguiendo la lógica del problema «debería» cambiar, por ello de las 2/3 posibilidades, pero vamos, sería como tirar una moneda al aire igualmente, teniendo fe en la lógica. ¡Gracias por la aclaración!
Gracias a ti, Klamm. Un detalle que le comento a Carlo en otro comentario es el de proponer alguna posibilidad de experimentación. Hay simuladores del problema de Monty Hall en los que se puede ver lo que ocurre con un número elevado de repeticiones, tanto cuando se cambia la elección inicial como cuando se mantiene, pero también se pueden diseñar experimentos sencillos para comprobarlo por uno mismo. Quizá uno de los más sencillos y que se puede hacer individualmente, consiste en suponer una distribución concreta de cabras y automóvil tras las puertas (como podría ser CCA) y utilizar un dado cuyo resultado al lanzarlo determine la elección inicial de la puerta. Podríamos tomar los resultados 1 y 2 como haber elegido la primera puerta, 3 y 4 para la segunda y 5 y 6 para la tercera. Una vez lanzado el dado, si se ha salido inicialmente una puerta con C, cambiar será la estrategia ganadora, y si ha salido A, mantenerse será la estrategia ganadora. Si se lanza el dado bastantes veces, lo más probable es que se pueda observar que cambiar es una estrategia mejor que mantenerse, e incluso se podrá cuantificar dicha mejora, pues observaremos que cambiando obtendremos aproximadamente el doble de automóviles conseguidos que sin cambiar. Hay diversos vídeos por internet en los que se realizan diversos experimentos y se observa lo que comentamos.
Por increíble que parezca, hay personas que se resisten a admitirlo incluso después de realizar algún tipo de simulación. Lo que podríamos denominar la falacia binaria o la visión dicotómica del mundo (dos puertas iguales, dos probabilidades iguales) parece ser que está profundamente arraigada en nuestra mente.
Quizá convenga promover la realización en edades tempranas de actividades que permitan entender la probabilidad a través de la estadística, desde un enfoque frecuentista basado en la experimentación. Hay docentes que ofrecen al alumnado el primer contacto con la probabilidad a través de la regla de Laplace, lo que probablemente proporciona una visión limitada, o que al menos no ayuda a superar el problema que comentas.
La enseñanza de las matemáticas, en general, es disparatada. A una edad en que la capacidad de abstracción no está muy desarrollada, se bombardea a los niños con conceptos que no consiguen asociar con la realidad y la mayoría acaban desconectando o detestando las matemáticas.
Una cosa es la lógica y otra, el sentido común (que es el menos común de los sentidos).
3 puertas. Probabilidad de la que eliges: 1/3. Probabilidad asignada a las otras: 2/3.
Si el presentador abre una puerta, la probabilidad no cambia. La que tú elegiste sigue en 1/3. La no elegida, asume los 2/3.
LÓGICAMENTE es preferible cambiar, aunque tu sentido común diga que la probabilidad se ha iniciado, etc.
Hombre, yo no contrapondría lógica y sentido común; en todo caso, a veces se contraponen lógica e intuición.
Poco puedo añadir a lo que comenta SF. Pero no es cuestión de ser o no ducho en matemáticas: he visto a matemáticos profesionales defender acaloradamente la falacia del 50 %. Es una paradoja que tiene que ver con el funcionamiento de la intuición, muy interesante desde el punto de vista neuropsicológico.
Si eliges una respuesta al azar para esta cuestión, ¿cuál es la probabilidad de que aciertes?:
A) 25%,
B) 0%,
C) 50%
D) 25%.
Si eliges una al azar entre n respuestas, de las cuales solo una es correcta, la probabilidad de acertar es 1/n.
En teoría. Dadas las opciones A y D, parece que en ese caso la probabilidad de acertar será otra.
Es una paradoja lógico-estadística.
Si se elige A, será falso porque A = D.
Si elige B, será falso, porque es una opción y tendrá 1/4 de probabilidad.
Si elige C será falso porque la prob. será de 25% en contra de lo que manifiesta el item.
Es una paradoja lógico-estadística. No posee solución.
Por eso digo «de las cuales solo una es correcta».
¿Cuál es la probabilidad de que un bajito sea dictador? Hitler, 1,72 m. Franco 1,63 m. Stalin, 1,62. Napoleón, 1,68 m.
La vida es muy frustrante cuando la cabeza te huele a pies
Quiero recalcar que es mucho más probable que un bajito salga dictador que una tía buena (aparte que las tías buenas viven en un mundo de color de rosa porque todo el mundo desea quedar a bien con ellas).
La vida y la probabilidad son una p…ada, sí, amigo Frabetti.
Yo matizaría: es más probable que un psicópata bajito sea dictador; los psicópatas sí pueden reaccionar de forma desmedida ante la frustración, y en esta sociedad, para un hombre con ínfulas de macho dominante es frustrante no ser alto. Por otra parte, llamar «bajito» a alguien de más de 1,70, sobre todo hace casi cien años, no es muy correcto desde el punto de vista estadístico.
También tiene que tener bigote.
Aunque Mao (1,61 m.), plusmarquista de los genocidas, no parece que se lo dejar. Era más bajito que Franco y mucho más cabrón. Mussolini, 1,62 m.
¿Alguien sabe si Soraya S. de Santamaría tenía bigote? Lo digo por completar la estadística. 1,55 m. Podía haber sido terrible.
Hola? Las tías buenas? Háztelo mirar.
Yo ya recuerdo este problema en las matemáticas de la EGB con el concurso 1, 2,3. Ya podéis imaginar de que pie calzo, pero todavía le daba vueltas en la clase de Estadística en 1o de carrera con la Teoría del Juego. Nunca creo que pise un casino si no es a jugar rojo/azul en una ruleta. Pero si que es verdad que la lógica de esto hay que aprendérsela, a priori no parece intuitivo. Al menos yo lo entendí fácil de esta manera: Si tienes 2/3 de probabilidad de elegir la puerta con la cabra. Asume que seguramente la has elegido. Si el presentador te enseña la otra cabra, cambia! Visto así es de una lógica aplastante. Excepto en ese 1/3 que elegiste el coche de entrada, si, cambiar te da más opciones.
Me gustaría conocer el dato estadístico del concurso, a la práctica que números salieron entre los concursantes que eligieron cambiar o no y que se llevaron. ¿Se acercó la realidad a la matemática?
No conozco los datos relativos al concurso; pero en las pruebas basadas en las distintas variantes de este dilema, como la paradoja de la caja de Bertrand, la mayoría de la gente cree que la probabilidad es 1/2. La realidad es matemática, pero nuestra mente no siempre.
Carlo, me han gustado mucho todos los dilemas que has planteado en estos artículos. El de las puertas al principio tampoco lo veía claro, pero el ejemplo de la lotería que apuntaba otro lector lo clarifica muy bien y es muy interesante.
No sé si entraría en la categoría de juego»rompecorazones», pero la prueba de lógica que aparece en la peli de los 80, Dentro del Laberinto, siempre me pareció muy sugerente. No es un dilema ético, aunque depende de cómo lo enfoques. En la peli, Sara se encuentra con dos puertas, una lleva al castillo de los goblins y otra al pantano. Una de las puertas siempre dice la verdad y otra siempre miente y ella debe averiguar cual es la correcta. Las puertas hablan, claro está :)). Un saludo!
Esa escena de «Dentro del laberinto» inspiró uno de mis libros infantiles: «Ulrico y las puertas que hablan», e ilustra un tema clásico de los acertijos lógicos: el de los embusteros y los veraces, tema al que Raymond Smullyan dedicó varios libros deliciosos, como «La dama o el tigre» y «Alicia en el País de las Adivinanzas».
Me los voy a leer!! :))
Si no te encantan, te devuelvo el dinero.