La cuadrícula infinita: de los cuadrados mágicos a los autómatas celulares

La fascinación que muchos niños y algunos adultos sentimos ante una hoja de papel cuadriculado tiene que ver con la naturaleza misma de la realidad. Organismos compuestos por células, paredes hechas de ladrillos, suelos pavimentados con baldosas… Y, en última instancia, una materia compuesta por átomos y una información reductible a ceros y unos. Toda la complejidad del mundo físico y mental procede de la acumulación organizada de diminutos elementos simples, igual que un bloc de notas es una ordenada acumulación de celdillas cuadradas que sirven de plantilla a textos, cálculos y bocetos, expresiones gráficas del pensamiento abstracto.

Como representación esquemática de nuestro mundo celular, el papel cuadriculado nos invita a convertirlo en soporte de estructuras y escenario de procesos que, partiendo de la mayor simplicidad, pueden alcanzar grados de complejidad inimaginables, del mismo modo que la evolución, recombinando sin fin los elementos más simples, ha generado un deslumbrante catálogo de formas de vida.

Algunas de las mentes más brillantes de nuestro tiempo, como Alan Turing, John von Neumann o John Conway, construyeron poderosas herramientas lógico-matemáticas a partir de una cuadrícula, que probablemente plasmaron en una hoja de papel cuadriculado. Veamos algunos de los fascinantes productos de la «mente cuadriculada», cuando la cuadrícula no es un corsé sino una plantilla que ayuda a escribir —a pensar— «despacio y con buena letra», como aconseja Machado.

La cuadrícula acotada

El papel cuadriculado, la cuadrícula inmensa (en una hoja estándar hay unas 4000 celdillas), no hace mucho que se convirtió en un soporte gráfico de uso común (los primeros cuadernos escolares se fabricaron en los años veinte del pasado siglo); pero las cuadrículas acotadas son tan antiguas como la escritura, o tal vez más.

La cuadrícula elemental de 3×3 es la base del cuadrado mágico, conocido en China desde el III milenio a. C., en el que los números del 1 al 9 están dispuestos de forma que todas las filas, columnas y diagonales sumen lo mismo (o sea, 15, ya que los nueve primeros números suman 45).

Solo hay un cuadrado mágico de orden 3, si consideramos iguales los obtenibles por rotación o reflexión. Pero en una cuadrícula de 4×4 podemos disponer los números del 1 al 16, formando un cuadrado mágico, de 880 maneras distintas. Y el número de posibilidades aumenta vertiginosamente al aumentar el orden: hay 275 305 224 cuadrados mágicos de orden 5, y unos 18 trillones de orden 6.

De todos ellos, el más famoso es el cuadrado mágico de orden 4 que aparece en el ángulo superior derecho de la Melancolía de Durero, construido de manera que los dos números centrales de la fila inferior compongan el año de realización del grabado: 1514.

Mucho se ha especulado sobre el significado de la Melancolía, cuyo denso simbolismo Durero nunca explicó. La mayoría de los expertos coinciden en ver en el grabado una alegoría del deprimido estado de ánimo típico del pensador incapaz de pasar a la acción. Y, de hecho, en el Renacimiento se pensaba que la melancolía era la dolencia propia de los estudiosos, a los que «una pálida máscara de reflexión hace parecer enfermos», según un testimonio de la época. Pero ¿por qué un cuadrado mágico en una alegoría de la inteligencia deprimida? Seguramente, como han señalado Panofsky y otros, porque se consideraba un talismán jovial contra la sombría influencia de Saturno, el dios de la tristeza. Efectivamente, se puede identificar el cuadrado mágico de orden 4 con la Mensula Jovis dividida en 16 casillas que, grabada en una lámina de estaño, «disipa toda angustia y temor», según Marsilio Ficino, y que fue un talismán de uso frecuente durante el Renacimiento.

Pero, sin negar lo anterior, cabría aventurar otra interpretación que, aunque probablemente tenga poco que ver con su intención consciente, tal vez arroje alguna luz sobre el núcleo de las inquietudes de Durero, que en más de una ocasión manifestó su angustia ante las limitaciones del pensamiento racional. Los cuadrados mágicos, acaso mejor que ningún otro objeto aritmético, simbolizan a la vez los aspectos lúdicos y abismales de las matemáticas: tras su inocente faceta recreativa (componer un cuadrado mágico es el equivalente numérico de resolver un crucigrama), acechan sus sobrecogedoras profundidades, que apenas hemos comenzado a explorar. Juego trivial, al alcance de un niño, y a la vez ventana asomada al vértigo de una combinatoria inabarcable.

Pero la cuadrícula acotada más famosa es seguramente la de 8×8: el campo de batalla del ajedrez, las damas y otros juegos de tablero. Podría parecer que, al tener casillas de dos colores, el popular damero no es una cuadrícula «pura»; pero, en realidad, los colores alternantes de las casillas solo sirven para facilitar la visualización de las posiciones, del mismo modo que la alternancia de líneas blancas y azules en el papel pijama no tiene más objeto que el de facilitar la lectura.

Además de su función como tablero, la cuadrícula de 8×8 ha dado lugar a numerosos problemas matemáticos, relacionados o no con el juego del ajedrez. Uno de los más interesantes es el de las poligrafías, que son los itinerarios de una pieza que recorre todo el tablero visitando una y solo una vez cada casilla. La poligrafía del caballo, la más compleja, despertó el interés de matemáticos tan ilustres como Leonhard Euler, que, entre otras cosas, halló un recorrido en el que el caballo, si numeramos las casillas en el orden en que las visita, genera un cuadrado mágico de orden 8.

La cuadrícula ilimitada

Las poligrafías del rey son mucho más simples que las del caballo, pero inspiraron la creación de uno de los más fascinantes «autómatas celulares»: la hormiga de Langton. Como es bien sabido, el rey se puede mover en todas direcciones, pero solo una casilla a la vez. Si eliminamos los movimientos en diagonal y hacemos que el rey, al visitar una casilla, cambie el color de la misma y altere la dirección de su marcha, y si eliminamos los bordes del tablero para convertirlo en una cuadrícula ilimitada, tenemos una hormiga de Langton (diseñada por Cristopher Langton en 1986), cuyas evoluciones generan sorprendentes patrones recurrentes y «avenidas» infinitas.

El más conocido y estudiado de los autómatas celulares es el juego de la vida, inventado en 1970 por el gran matemático británico John Horton Conway (recientemente fallecido a causa de la COVID-19; sirvan estas líneas de modesto homenaje).

Al igual que la hormiga de Langton, el juego de la vida se desarrolla sobre una cuadrícula ilimitada en la que algunas de las casillas/células están «vivas» y otras «muertas» (las primeras marcadas en negro y las segundas en blanco, habitualmente). A partir de una determinada situación inicial, las células evolucionan automáticamente (de ahí el nombre de «autómata celular») de acuerdo con un par de reglas sencillas:

1. Una célula muerta con exactamente 3 vecinas vivas revive.
2. Una célula viva con 2 o 3 vecinas vivas sigue viva, de lo contrario muere (por «soledad» si tiene menos de 2 vecinas vivas o por «superpoblación» si tiene más de 3).

Hay patrones, denominados «osciladores», que tras un determinado número de pasos («generaciones») vuelven a su estado inicial, otros que permanecen invariables («vidas estáticas»), otros que reaparecen en distinto lugar («naves espaciales») como si se desplazaran por la cuadrícula…

El juego de la vida y la hormiga de Langton son, además, máquinas universales de Turing, es decir, todo lo que se puede computar algorítmicamente, se puede computar en estos autómatas celulares (pero ese es otro artículo).

El papel cuadriculado y los cuadernos en general han sido desplazados, en buena medida, por las pantallas de ordenador; pero la cuadrícula sigue viva —más viva que nunca— en ellas, puesto que todo aquello que aparece en una pantalla es, en última instancia, una tupida retícula invisible saturada de píxeles elementales que, combinados de distintas maneras, dan lugar a la inmensa variedad de textos e imágenes posibles.