Ilustración de Raquel Garcia Uldemollins
Me gustan las medias. Me encantan.
Desde niña he sentido fascinación por esta prenda fetiche. En aquella época porque quería ser mayor, unos años más tarde porque quería ser sofisticada y sexy, en la actualidad porque me resultan mucho más prácticas y cómodas que los pantys, sobre todo cuando la cena o el almuerzo contiene apio o algún otro ingrediente con efecto diurético. Así que voy a hablar de medias. Pero no de las que envuelven nuestras piernas de seda, lycra o nylon, sino de esas con las que continuamente nos bombardean en los medios tratando de convencernos de algo o para compararnos con otros y ensalzar la marca España cuando proceda o dejarnos a la altura del betún cuando interesa resaltar lo malo de alguna herencia histórica recibida.
Estoy casi segura de que todos, o casi todos, hemos oído, más de una vez, el dicho ese de que «la estadística es la ciencia que, si tú te comes 2 pollos y yo no me como ninguno, concluye que nos hemos comido un pollo cada uno». Risas.
Pues no. La estadística en ese caso lo que concluye es que la media de pollos que hemos comido es 1. Y es verdad.
Abro un pequeño paréntesis. Estamos hablando de media aritmética. Para calcular la media aritmética de un conjunto de datos basta con sumarlos todos y dividir por el número total de datos.
El error en la historia esta del pollo radica en el uso de la media para representar un rasgo o comportamiento de la población. Ese es el problema de usar la media: no siempre es un buen indicador de la realidad del fenómeno observado.
Es como si a algún descerebrado se le ocurriese diseñar un sistema de acceso a la Universidad, templo del conocimiento y el pensamiento crítico, basado en puntuaciones calculadas a partir de la media aritmética de las calificaciones obtenidas en Matemáticas, por ejemplo, y Religión.
¿Son equiparables para entrar en ¡la Universidad! un estudiante con 10 en Matemáticas y un 5 en Religión con otro con un 10 en Religión y un 5 en Matemáticas? Por favor… ¿estamos locos o qué? Risas. Impotencia. Llanto. Miedo.
Perdonen, me he derivado… ya avisé.
Como estaba diciendo antes de esta pequeña digresión sobre esa majadería conocida como LOMCE, la media no es siempre un dato representativo de la población.
En España, sin ir más lejos, la mayoría de los habitantes tiene más piernas que la media. Efectivamente, con que haya un ciudadano que no tenga las 2 piernas, la media ya es menor que 2. ¿Parece razonable afirmar que los españoles suelen tener menos de 2 piernas?
Déjenme que lo intente explicar con otro ejemplo. Como profesora universitaria, he tenido la oportunidad de escuchar alguna vez a algún director de alguna escuela técnica argumentar (casi vanagloriándose) que la carrera que en ella se impartía no era de 3 años, sino de 8, porque esa es la media de lo que tardaban los alumnos en terminarla. Al margen de que no acabo de entender por qué se tenía que vanagloriar de las dificultades que se encontraban los alumnos en su centro, nunca le he visto yo la gracia a este tipo de cosas: resulta que estaba utilizando la media para algo que no es relevante en absoluto. Se puede ver con un ejemplo muy simple (y algo simplista).
Supongamos que tenemos 13 alumnos que tardaron, respectivamente, los años que aparecen en la siguiente lista, ordenados de menor a mayor:
3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 7, 20, 30
Si calculamos la media aritmética (sumando todos los datos y dividiendo por 13) nos sale 7, 7 años. Sin embargo, de los 13 alumnos, ¡10 la acabaron en menos de 4! Este dato es, por lo tanto, poco representativo.
Para casos como este, sería mucho más descriptivo utilizar la mediana (o percentil 50) que es el valor que ocupa la posición central de todos los valores que tenemos, con lo cual no influye nada el hecho de que el que más tarde sea 10, 20 o 50 años. En nuestros ejemplo, la mediana, el valor que está en el centro si los ordenamos de menor a mayor, es 4.
3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 7, 20, 30
Que la mediana en acabar una carrera sea de 4 años significa que si entran 100 alumnos a esa titulación, en 4 años al menos 50 de ellos tendrán terminados sus estudios; por lo menos todos los anteriores al valor central en esa lista. Y, como se ve en este ejemplo, da información más fiable que la media. Otra explicación más detallada sobre la representatividad de estas medidas de tendencia central, nos la dio nuestra amiga Mati en esta entrada.
Más aún, y ahora me voy a arriesgar a ganarme el odio de todos los estudiantes, la media aritmética puede no ser representativa para evaluar los conocimientos de una asignatura. Me explico: si un estudiante se examina de una asignatura realizando 2 exámenes de la misma y obtiene como calificación un 0 en uno de los exámenes y un 10 en el otro, al calcular su nota final mediante la media aritmética este estudiante habría superado esa materia. Ummmm…
¿Les gustaría que su médico o el ingeniero que diseñó el puente por el que pasan cada día solo supiera la mitad de cada cosa y desconociera totalmente la otra mitad?
Una posible solución para evitar estos aprobados anómalos sería calcular la nota final usando, no la media aritmética, sino la media geométrica. La media geométrica de 2 números se calcula multiplicando estos números (en lugar de sumarlos como en la media aritmética) y calculando después la raíz cuadrada del producto (en lugar de dividir por 2).
Efectivamente, esta media es más agresiva que la aritmética para calificar a los estudiantes pero, posiblemente, más segura. No sé.
Aún en el caso de que el profesor exija una nota mínima para hacer media, la geométrica nos salva de casos de aprobados anómalos con 3 y 7, puesto que la raíz cuadrada de 21 es menor que 5.
No, no me insulten todavía. No la uso con mis estudiantes, pero sí aparece en la nueva fórmula para la revisión de las pensiones.
Y no, no me miren con esa cara que yo también me asusté cuando la vi. Por cierto, he corregido una errata en la imagen de la fórmula publicada en El País.
Lo que resulta especialmente llamativo en la fórmula de marras es que el IPC ni está ni, posiblemente, se le espera. Se les habrá pasado con las prisas como se han pasado los del FMI con los griegos. Estos chicos…
Y, como señalan en el artículo de donde he sacado la fórmula, «dependerá de las previsiones del Gobierno sobre los ingresos y gastos futuros, de los cálculos actuariales sobre la evolución del número de pensionistas y sobre el efecto de la sustitución de pensiones (los pensionistas que se mueren suelen tener pensiones más bajas que los nuevos jubilados) y del coeficiente que elija el Gobierno para ir corrigiendo los desequilibrios presupuestarios». Vamos, que pueden poner el coeficiente que quieran para que les salga lo que les dé la gana.
De lo que pueden estar casi seguros o, al menos, eso sospecho visto lo visto, es que si es para dar algo usarán la media geométrica que es siempre igual o más pequeña que la media aritmética. De verdad, déjenme que demuestre esta última afirmación gráficamente, que es muy chulo.
Lo podemos ver con un dibujito y sin más que conocer el Teorema de Pitágoras:
Si tenemos dos números, a y b, para los que queremos comparar su media aritmética y su media geométrica, dibujamos dos segmentos con dichas longitudes. Obtenemos así un segmento de longitud a + b.
Ahora, pinchamos con el compás en el centro del segmento de longitud a + b y dibujamos un círculo, que tendrá de radio (a+b)/2, como, por ejemplo, el radio que hemos pintado en azul en la siguiente figura:
Ahora pintamos, en rojo, un segmento paralelo al radio azul sobre el punto de unión de los segmentos originales, los de longitud a y b, respectivamente, y nos preguntamos cuánto mide ese segmento.
Para calcular la longitud del segmento rojo, no tenemos más que aplicar el famoso Teorema de Pitágoras, (sí, el de las suma de los cuadrados de los catetos que dan como resultado el cuadrado de la hipotenusa), sobre el triángulo sombreado en amarillo…
Y, ¡tachán! Si hacen las cuentas con esos datos, tendrán que la longitud del segmento rojo es, precisamente, √ab, esto es, la media geométrica de a y b. Puesto que la longitud del radio azul era la media aritmética de a y b, se deduce del dibujo que la media geométrica siempre es menor que la aritmética, salvo cuando a=b, en cuyo caso, la media aritmética y la geométrica coinciden.
Me encanta esta prueba gráfica de este hecho, ¿qué? ¿que no?
Bueno, termino como empecé, pidiendo que no usen la media por encima de sus posibilidades para sacar conclusiones sobre el comportamiento de la población.
Y si aún no los he convencido les propongo el siguiente ejercicio: sumen todas las cantidades que se han embolsado (o las que sabemos que se han embolsado) los corruptos de este país; divídanla por el número total de españoles y obtendrán un número mayor que 0. ¿Se podría deducir de ello que el español suele ser corrupto?
No.
Los corruptos son ellos y son pocos. Pero parece que, en este caso, los cobardes somos nosotros.
Clap, clap, clap
Pingback: Con medias y a lo loco
Genial, simple, simpático aunque real, e inteligible.
Muchas gracias.
Por favor, escribe un artículo sobre el tanto por ciento y su aplicación a los crecimientos, a las tasas de crecimiento, a las tasas de las tasas de crecimiento, y así hasta el infinito. O su aplicación a las subidas salariales, al reparto de bonus y otros trucos aparentemente objetivos (mejor que eso, ¡matemáticos!) que siempre favorecen a los que más tienen (iba a escribir «ricos», pero suena a izquierda trasnochada y aquí sólo puede ser trasnochada la derecha).
No te has ganado mi odio pero quiero darte un apunte para que no tengas ese miedo a cruzar puentes.
En las ingenierias actualmente, si en el ejemplo que has planteado tu, en una parte sacas un 0 y en otra un 10 tienes un 0 en total ¿Por qué? porque si en una parte tienes menos de un 4 directamente no te hace nota media. Quizás tu apruebes a tus alumnos de esa manera, en mi carrera no lo hacen.
Otro apunte más, en bolonia algunas asignaturas se pueden aprobar con varios parciales continuos, en los que cada vez entran mas cosas, pero manteniendo contenido de antes. ¿Que pasaria si en uno de ellos, por ejemplo el primero, se saca un 0? Pues que si haces la media aritmetica, puedes obtener una nota real justa de la evaluación. Si haces la geometrica todo el mundo sabe que ese alumno con un 0 en el primer examen, aunque todo lo aprobara a partir de ese dia con 10 sacaria un cero irremediablemente.
Pero mas aun, tengo asignaturas en las que puedes sacar hasta un -3 en los examenes. Hazme la media geometrica entonces. Podrían pasar 3 cosas: Sacar un numero positivo, sacar un numero negativo o sacar un numero tan imaginario como el concepto que tienes de una carrera actualmente.
Este articulo no hay por donde cojerlo. Saludos.
Perdona, pero que tú no hayas entendido el fondo del artículo no quiere decir que no haya por donde cogerlo. Ella en ningún momento dice que haya que hacer sí o sí la media geométrica para los exámenes, lo plantea como una posibilidad (como otra cualquiera), y como posibilidad que es no tiene por qué aplicarse a todos los escenarios (en el caso del -3 que dices pues obviamente no se podría aplicar). No ha habido imposición en ningún sitio por la autora, ha expresado una opción para un caso en particular como curiosidad.
Por otra parte, el artículo me parece magnífico. Enhorabuena
Lo que no hay por donde cogerlo es un universitario que desconoce la ortografía más básica. Por lo demás, el artículo es magnífico, chorradas como ésta aparte.
Cogerlo*, cierto, error garrafal que hace que una persona que no entiende el texto que he escrito si entienda como se debe escribir una palabra del mismo.
Si entiendes por magnifico un articulo que acaba diciendo que no usemos la media aritmética por encima de sus posibilidades y que usemos la geométrica, partiendo de base con un ejemplo de media geométrica por encima de sus posibilidades… Entonces te aconsejo ir a la universidad campeón.
Julián,
Para ser estudiante de una carrera, no has dado ni una en comprensión lectora y además… ¿Conoces las tildes?
Vaya tela.
El artículo muy bueno.
Te respondo lo que al de arriba.
¿Eres un flipado o un troll?
Soy ingeniero industrial, aprové programación en un exámenes dividido en dos partes: saqué un 10 en lenguaje de ensamblador y un 0 en lenguaje C. En todas partes cuecen habas.
Enhorabuena por el articulo Claire. Raquel, como siempre, genial.
Querido ingeniero, aprobé va con B.
El artículo es excelente: un tema bien elegido, bien fundamentado, bien explicado y redactado con pulcritud.
Divertido y coincide con el tema que estoy dando en el cole. Gracias
Estupendísimo artículo sobre el abuso de la media.
Me recuerda mucho a los chistes que había con las diferencias entre matemáticos e ingenieros a la hora de derivar funciones (unos comprueban que se pueden derivar y los otros lo hacen a ciegas).
Por desgracia, lo están utilizando para fastidiar a muchas generaciones (lomce)
Por favor, escribe el artículo que pide Federico, ahí hay mucha tinta, y es el principal origen de esta crisis y todas las que vendrán si seguimos así.
épico, jeje. ahora que la plebe lo entienda y deje de votar a los que les bajan las pensiones y les recortan… ah no… eso sería lo ideal.
Felicidades por el artículo y gracias, sobre todo muchas gracias por formar parte de lo que queda de nuestro sistema educativo.
Pues esto es como cuando dicen que la media española está en un sueldo de 24.000 euros anuales. Que se lo digan a cualquier camarero, limpiadora, jornalero agrícola, chica-mona-dependienta, cajera del día, barrendero municipal, etc., etc. etc.
Gracias Clara, por compartir, por explicar y relacionar las matemáticas con ejemplos del día a día
Genial el tema del artículo y una explicación excelente del mismo.
Ojalá las clases de matemáticas fuesen así de divertidas.
Me recuerda el error del equipo ZP cambiar placas de 120 a 110 como medida para reducir consumo, contando a todo el parque automovilístico en la media, cuando los camiones que ya circulaban a 110 no deberían entrar en el calculo
fa pocs segons · M’agrada
Bra – vo.
Deben de gustarte tanto las matemáticas que ‘pides’ explicarlas del mismo modo que un niño intenta mostrar a todo el mundo lo bonito o lo interesante que es su nuevo juguete.
El artículo es bastante didáctico (enhorabuena en ese aspecto) pero yerra en sus críticas. En primer lugar, hay un poco de sarcasmo a la hora de mencionar la ausencia del IPC, pero lo cierto es que el IPC aparece implícitamente dentro del crecimiento de los ingresos nominales. De hecho, en el propio informe se realiza explícitamente la descomposición de ese factor en inflación + crecimiento de ingresos reales (pp. 17-18) y se puede reescribir la ecuación introduciendo la inflación como otro factor.
Otra crítica que personalmente no entiendo es la del uso de medias geométricas: en primer lugar, las medias geométricas aparecen tanto en el denominador como el numerador del término relevante, de modo que la velada acusación de que se usa la media geométrica para «reducir» el incremento de las pensiones no tiene mucho sentido. Es más: precisamente el uso de medias aritméticas para calcular las tasas de crecimiento sesga al alza las tasas de crecimiento y la media geométrica (sobre los valores (1+gi), no sobre gi directamente) sería la forma natural de calcularlo. Es decir, supongamos que tenemos unos valores de la tasa de crecimiento g_i con i € {1, …, n}; en ese caso, si buscamos la tasa de crecimiento g* que, durante n años, hace crecer tanto la cantidad como todos esos valores, llegaremos a la ecuación:
(1 + g*)^n = ∏i (1 + gi)
Tomando la raíz enésima, tenemos exactamente la definición de media geométrica. Si nos ponemos a buscar las implicaciones de que use la media aritmética como aproximación, podríamos concluir que están sesgando al alza el crecimiento de las pensiones al calcular los factores de crecimiento como media aritmética y no como geométrica. Personalmente pienso que, como de hecho comentan en el informe, tiene más sentido usar un filtro Hodrick-Prescott para corregir por ciclos económicos que una media geométrica, pero en la práctica da resultados parecidos y es más fácil de explicar una media aritmética o geométrica.
En resumen, siempre está bien entender qué es lo que se está criticando (otro ejemplo: en el informe se describe perfectamente cuál es el rol del coeficiente que «pueden escoger el que les dé la gana»). Críticas, sí, por supuesto; pero mejor fundadas, por favor.
«la estadística es la ciencia que, si tú te comes 2 pollos y yo no me como ninguno, concluye que nos hemos comido un pollo cada uno.»
Y la estadistica tambien dice que en este caso la desviacion tipica es 1.
Si los 2 nos hubiesemos comido un pollo cada uno, la media tambien es 1 pollo, pero en este caso la desviacion tipica es 0.
La desviacion tipica es la que explica esa diferencia de los 2 casos teniendo identicas medias.
Articulo fantastico, pero creo que falto esta pequeña aclaracion.
P:D: No me funcionan las tildes
Más matemáticas y más cercanas como éstas, por favor. Gracias Clara y gracias por publicarlo aquí.
Muy bueno Clara. Más artículos como estos y que los alumnos los puedan leer.
Gracias
a mi me ha encantado!!!
Qué bueno, todo lo que hacéis. Clara y Raquel, me declaro vuestra fan. Sólo un comentario: ¡valientes! Gracias por ser auténticas y por no tener miedo a expresaros. Sois unas artistas.
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Genial. Tu prosa es magnífica.
Solo porque la matería que se enseña en religión está mal enfocada no debería descartarse para el acceso a la universidad y menos ser fruto de burlas simplonas y chistes fáciles. Enseñemos religion(es) a todo el que quiera y lo vea práctico del mismo modo que enseñamos idiomas por ejemplo.
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Si has hablado de tus medias, me esperaba que tambien hablases de la moda (estadistica).
La moda afirmaria correctamente que el numero mas frecuente de piernas es dos.
Aunque la moda no tiene porque ser el numero mas frecuente.
La media geometrica tampoco me parece el metodo perfecto para medias de notas.
Favoreceria la regularidad y a los que sacan casi siempre 8, en contra de los que sacan 6 y 9.
Para mi gusto descartaria los valores menos frecuentes, puede acertar de casualidad o tener un dia malo; y hacer la media con lo valores más frecuentes.
No conocía la demostración gráfica de que la media geométrica es menor que la aritmética (o por lo menos no me acuerdo de si alguna vez la he visto). Preciosa.
Felicidades por la entrada, bueno, por las entradas
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